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12-03-2010

Gimnasia mental: Las tres puertas

Tres puertas

Después de dejar las neuronas en remojo durante enero y febrero por el verano, vuelven los acertijos para ir despabilando las neuronas en el comienzo del año laboral.

Esta vez, con un enigma de enunciado sencillo pero cuya respuesta contraría la intuición. Se trata de un problema muy famoso, conocido normalmente como “el problema de Monty Hall“, que era el conductor del famoso programa de entretenimientos americano “Let’s make a deal”.

Este problema, a su vez, es derivado de un acertijo llamado “Los tres prisioneros”, creado por el gran matemático Martin Gardner en 1959 y está incluido en muchos libros, incluyendo el tomo uno de “Matemática, ¿Estás ahí?” de Adrián Paenza.

El enunciado (en versión Riesgo y Recompensa) es:

Un día, nuestro querido amigo Atilio va a un programa de entretenimientos en la TV. Una vez allí, se le presentan tres puertas. Detrás de una de ellas hay un automóvil de lujo. Detrás de las otras dos, hay un paquete de pastillas “Refresco”.

Atilio debe elegir una puerta y obtiene como premio lo que haya atrás de ella. Él está desesperado por ganarse el auto. Elige la número 1 y, antes de abrirla, el presentador, que sabe lo que hay en cada puerta, abre la 2 y le muestra que allí hay un paquete de pastillas. En ese momento le pregunta: “¿Quieres quedarte con la puerta que elegiste o prefieres cambiar a la otra que está cerrada?”.

La pregunta es: ¿debe Atilio cambiar de puerta a la otra que tampoco sabe lo que tiene?. ¿Cómo maximiza sus chances de ganarse el auto y por qué?

—————————————————————

Como siempre, les pido que en los comentarios NO mencionen la solución! La idea no es competir por quién lo resuelve sino disfrutarlo y hacer un poquito de gimnasia cerebral. Y si la solución está demasiado a mano se hace demasiado tentador mirarla.

También les recomiendo que no lo googleen. Traten de resolverlo sin perder la paciencia si al principio se resiste un poco. Como siempre, yo voy a poner la solución como comentario una semana después como para que realmente los que no lo conozcan puedan tratar de resolverlo.

Foto: Thomas Euler

Acertijos anteriores:

Lo que estás necesitando para emborracharte sin culpa!

Las mujeres y el puente

Un acertijo prohibido para menores de 18 años

Los apretones de manos de Halmos

Un acertijo de Adrián Paenza

    Hay 31 comentarios - Agregá el tuyo!

  1. 1

    en la peli blackjack hacen el mismo acertijo al principio pero ocmo la rubia rajaba la tierra no preste la debida atencion

  2. 2
    E Amadeo says:

    Estoy afiladisimo! Lo saque en dos minutos!! Creo que bien, ya vere.
    Lo interesante es que me parece que hasta tiene una ensenianza.

  3. 3

    Muy interesante problema. Lo conocia ya y conocia la solucion, pero este post me tento de escribir un programa para resolverlo desde un punto empirico y veo que no hay una relacion en los resultados:

    (esta escrito quick & dirty, no se asusten por la falta de elegancia)

    $number = 1000000;

    function go($switch) {
    $doors = Array(‘G’, ‘G’, ‘G’);
    $doors[rand()%3] = ‘C’;
    $pick = rand()%3;
    $open = Array(0, 1, 2);
    $open[$pick] = “-“;

    do {
    $r = rand()%3;
    $opena = $r;
    } while ($open[$opena] == ‘-‘);

    $open[$opena] = ‘-‘;

    foreach ($open as $k => $v) {
    if ($v !== ‘-‘) {
    $othera = $k;
    break;
    }
    }

    if ($doors[$opena] != ‘G’) return 0;

    if ($switch == true)
    $pick = $othera;

    return $doors[$pick] == ‘G’ ? 0 : 1;
    }

    for ($i = 0; $i < $number; $i++) { $t += go(true); }
    for ($i = 0; $i < $number; $i++) { $f += go(false); }

    echo "Switching: $t (".(($t/$number)*100)."%)\n";
    echo "!Switching: $f (".(($f/$number)*100)."%)\n";

    Resultado:

    Switching: 333549 (33.3549%)
    !Switching: 333587 (33.3587%)

    Sobre un millon de juegos hay un delta de 00.004%. Thoughts?

    • 9
      Santiago B. says:

      Pablo, como diría la maestra de Jaimito, “Me gusta tu manera de pensar”! Pero hay algo errado en lo que armaste porque las probabilidades de ganar si cambiás y si no lo hacés deberían sumar 100% y no lo están haciendo. Hay algo errado en tu simulación…

      • 12

        Esta mal pero por otra cosa Santi. Lo que muestra es la probabilidad de ganar habiendo cambiado y no habiendo cambiado. O sea la probablidad de no ganar (segun el programita) es de ~77% en cada caso (o sea suma 100 en ambos casos).

        Tratando de no dar la respuesta, esta obviamente mal porque como el presentador abrio una de las puertas donde NO estaba el premio, segun este programa (aunque no considera esto), el porcentaje deberia ser cercano al 50% para cada una.

    • 11
      Gabriel says:

      Si entendí algo de tu código lo que te está dando es que al comienzo del “ejercicio” (tres puertas cerradas) tenés un 33.33% de chances. Razonable! 😉

    • 15
      guillecabeza says:

      Pablo, el codigo esta mal.

      No solo que esta bastante feo escrito.

      Esta condicion:

      if ($doors[$opena] != ‘G’) return 0;

      Esta mal puesta, no corri la simulacion pero mirando el codigo me parece que estas considerando TODOS los casos como si no switcheara.

      Lease si perdio con la puerta elegida lo dejas perder, en ningun caso que llegue a la oportunidad de switchear con un G lo estas dejando efectivamente switchear.

      Por eso las probabilidades te dan iguales 😉

  4. 4
    Nico Avellaneda says:

    El juego es muy bueno. Lo conocía y es un clásico! Como idea para el proximo post para pensar….conoces la Paradoja del Cumpleaños? Ese es tan bueno como este…

    saludos, nicolas

  5. 5
    Gonzalo says:

    PABLO FERNANDEZ, mas alla de escribir la solucion en arameo, que parte de “les pido que en los comentarios NO mencionen la solución” no entendiste?

  6. 6
    Hookdump says:

    Pablo Fernandez, si querés buscar una solución empírica, por ahí vas muuuy mal.
    En todo caso encaralo con Probabilidad y Estadística, o quizás con Combinatoria o Algebra.

    Saludos! ^^

  7. 8

    Interesante, me surge la duda de si el presentador es como Susana que quiere que ganes o como el de Slumdog Millionaire que quiere que pierdas.
    Quizá haya una solución que no dependa de eso pero de momento no la encuentro.

    • 10
      Santiago B. says:

      La solución no depende de eso. El presentador no quiere que pierdas ni que ganes. Simplemente una vez que elegiste una puerta te abre una de las que no elegiste que no tiene el premio y te pregunta si querés cambiar. La decisión es 100% tuya.

    • 19
      Santiago B. says:

      En realidad el presentador no quiere nada. Simplemente cumple en abrirte una sin premio después de que elijas la primera y después te pregunta si querés cambiar…

      • 23

        Igual voy a tener que leer el libro de Paenza a ver como lo analiza el, porque aún conociendo la solución, no me parece que el razonamiento sea del todo correcto…
        Si tenés alguna explicación particularmente buena, mandamela por mail…

        PD: el apellido del autor de la foto es Euler! Groso! (muy nerd?)

  8. 13
    Santiago B. says:

    Bueno, acá va la solución al acertijo junto a algunas reflexiones mías al respecto. Como siempre, pongo un link en vez de escribir la respuesta acá para dar una última chance de que intentes resolverlo si aún no lo hiciste.

    Si te rendís, cliqueá acá.

  9. 14
    UFO says:

    Muy bueno, en el programa de Paenza se habló de este acertijo y su solución.

  10. 16
    Tomás Perez Virasoro says:

    Querido Santiago,
    Me surge una gran duda del acertijo….

    Si no entendí mal cada una de las decisiones de elegir una puerta son independientes: a) la primera cuando las opciones son tres en la cual en sólo una hay premio y, b) la segunda cuando las opciones son dos en la cual en sólo una hay premio.

    El participante no sabe al comienzo del juego que va a tener la posibilidad de cambiar de puertas en el supuesto de no sacar el premio en la primera elección. Y, además, las probabilidades se evalúan al momento de tener que decidir si cambia de puerta, sabiendo que el premio se encuentra en una de las dos puertas posibles.

    En la segunda opción (cuando le dan la alternativa de cambiar de puerta) las probabilidades no son de 50% de que esté en una de las dos puertas y 50% de que esté en la otra?????

    Qué nos puede hacer pensar que hay más posibilidades de que esté en la otra puerta…. que no haya estado el premio en la primer puerta abierta???

    No veo que cambien las probabilidades por este acontecimiento, ni porque se haya hecho una primera elección y descartado una puerta. Con cada nueva posibilidad de elección, la probabilidad de encontrar el premio está determinada por la cantidad total de puertas y la cantidad de puertas que podrá abrir el participante. Y no por la que haya abierto en el pasado.

    Te dejo mi inquietud, te mando un saludo y gracias por la transmisión de conocimiento y experiencia que brindas en tu blog que es excelente,

    Tomás Perez Virasoro

    • 20
      Santiago B. says:

      Hola, Tomás. Tu razonamiento es incorrecto. No puedo explicarte la razón sin deschavar la solución así que te recomiendo que sigas intentando y si no veas la solución en el comentario #13.

      Saludos!

      • 28
        MARTIN says:

        Santiago el razonamiento de Tomas no es del todo incorrecto, la probabilidad nunca es del 33.33% si no del 50 % ya que independiente de la puerta que elijas el presentador siempre va a abrir una asi que la eleccion sera siempre entre dos puertas seleccione la ganadora o no, por lo que daria lo mismo elegir cualquiera de las dos porque en este caso mi probabilidad siempre sera el 50 %, es parecido a utilizar cara o cruz con una moneda para elegir siempre sera la misma probabilidad y los eventos seran independientes uno de otro… este video de TED de Peter Donnelly que es matematico de Oxford sobre la estadistica y las probabilidades y como son mal interpretadas inclusive por doctores en matematicas y estadistica podia ser util para analizar cual seria la respuesta correcta http://www.ted.com/talks/lang/spa/peter_donnelly_shows_how_stats_fool_juries.html

  11. 21

    Si sabés bastante de matemáticas, este acertijo es fácil, aunque muy contraintuitivo. En su momento lo saqué enseguida, pero sigue siendo super interesante!

  12. 25
    Maria says:

    Este acertijo me sonaba conocido, aun así lo respondí mal por mis propios medios (aunque recordaba las bases por las que se daba la solución, claro que ignorando que de la otra manera)…
    Lo había escuchado en la peli americana acá estrenada como “21 Black Jack”, en la parte donde en una clase debaten el profesor y el protagonista, que está transcripta en este diálogo… genial el ejercicio!

  13. 26
  14. 27
    Paula says:

    Lo que más me ha llamado la atención viviendo allí -en 1996- y visitando como turista, son las razias que se pega la policía para arrestar a inmigrantes y deportarlos. Eso no pasó ni pasa aquí. Recuerdo muy bien en 1996 como en el intercambiador de metro y buses; por donde pasaba la línea 6 de Metro -la circular-; la policía va cada tanto, se escondía al tope de la escalera mecánica interminable y exigía documentos a los que subían

  15. 29
    claudia says:

    hola santiago, muy interezante el acertijo! lamentablemente no logre sacarlo. Te agradeceria si me pudieras brindar la solucion por mail dado a que me parece muy util aplicarlo en una prueba que pretendo desarrollar.
    gracias

  16. 31
    oscar says:

    Hablando en el supuesto caso de que esta en un programa de televisión como saber si mi elección es la correcta y el presentador solo abre una errónea para suspenso del publico, haciendo que cambie a la incorrecta o viceversa como yo lo veo es 50 50

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