Solución al problema de los soldados

Espero que les haya gustado este acertijo y hayan podido resolverlo.

A mí este acertijo me gustó porque el resultado me parece muy anti intuitivo. Mi primer pensamiento antes de intentar nada era que habría que cambiar más o menos un tercio de los soldados. Pero como ya habrán visto, el resultado es muy distinto de eso.

El título decía que era fácil y supongo que así les habrá resultado. La razón por la que era fácil es que, al final del día, a diferencia de la mayoría de los acertijos donde la cosa misma que hay que hacer para resolverlos no está clara, en este caso el enigma se resuelve simplemente haciendo una cuenta y no es difícil ver cuál es la cuenta que hay que hacer.

Pero una vez que lo planteé me di cuenta de que tiene también una solución mucho más interesante y un poco menos fácil que conduce a la misma conclusión sin hacer ninguna cuenta. Si no la encontraron les propongo que hagan ahora una pausa en la lectura e intenten encontrarla.

Ahora les voy a presentar las dos soluciones:

1) Haciendo la cuenta:

Una brigada A tiene dos A y un I. Por lo tanto, una escuadra tiene dos brigadas A y una I. Entonces tiene 2 x (2A + 1I) + (2I + 1A) = 5A y 4 I. Un pelotón tiene dos escuadras A y una I. Eso es, 2 x (5A + 4I) + (4A + 5I) = 14A y 13I. Un batallón A tiene dos pelotones A y uno I… Y así sucesivamente. Puede ser tedioso, pero no es difícil, repetir este procedimiento seis veces hasta llegar a la escala de un regimiento con 729 soldados. El resultado que se obtiene es que un regimiento A tiene 365 soldados A y 364 soldados I. Dado que si hubiéramos hecho la misma cuenta para un regimiento I el resultado hubiera sido 364A y 365I, resulta que, sorprendentemente, con cambiar sólo un soldado el regimiento se convierte.

2) Sin hacer ninguna cuenta (si no lo hicieron aún intenten encontrarla antes de seguir leyendo):

Sabemos que una brigada tiene 2A y 1I y por lo tanto la diferencia es 1. Pero cuando agrupamos tres brigadas para formar una escuadra tenemos que 1A y 1I  se anulan (no hay diferencia: hay la misma cantidad de soldados A en el I como de I en el A).

Toda la diferencia en cantidades proviene de la tercera brigada y sabemos que entonces queda una diferencia de 1 para toda la escuadra. Este mismo razonamiento se puede hacer para el nivel siguiente (pelotón): una escuadra A se anula con la I y toda la diferencia viene de la otra A que es 1.

De manera más general: Dado que siempre cada grupo A de un nivel “x” está formado por dos A y un I de nivel “x-1”, un A y un I se cancelan y la diferencia en el total de soldados A vs I proviene de la diferencia que haya en el A restante de nivel “x-1”. O sea, la diferencia entre el total de A e I en el nivel “x” es la misma que en el “x-1” para cualquier “x”, por ende es siempre la misma.

Sabiendo que es 1 para el grupo de 3 soldados ya podes quedarte tranquilo que, sin importar cuántos niveles le agregues al acertijo, la diferencia siempre será 1. Esta “demostracion” me gusto porque me parecio sencillita y contundente.

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Si se quedaron con ganas de más pueden ver otros acertijos anteriores acá.

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