Solución al acertijo de los apretones de manos de Halmos

La verdad que fue impresionante la cantidad de respuestas con soluciones, algunas correctas y otras no, que recibí sobre este acertijo.

Lo primero importante a mencionar, porque fue la fuente de la mayoría de los errores, es que la respuesta se obtiene de manera 100% matemática y no depende de cosas como que “los hombres dan la mano y las mujeres saludan con un beso”. El problema se originó en USA, donde todos dan la mano. Tal vez hubiera estado bueno en mi traducción del enunciado aclarar específicamente eso, dada la diferencia cultural en Latinoamérica. De todos modos, el asumir que la respuesta venía por ese lado se chocaba rápidamente con que eso no cumplía con la regla de que todas las personas le hubieran respondido al dueño de casa números diferentes.

Ese dato era el verdaderamente relevante para empezar a resolver el problema. Dado que el dueño de casa preguntó a 9 personas (su esposa y los otros 8 invitados) y que el mínimo era apretar cero manos y el máximo posible eran 8 (porque nadie se daba a sí mismo ni a su pareja), las respuestas que él obtuvo tienen que ser todos los números del 0 al 8, sin que ninguno se repita ni ninguno falte.

Llamemos a las personas P0, P1, P2, …, P8 y DC (dueño de casa) donde el número indica cuántas manos apretó. Si empezamos por pensar sobre P8, resulta claro que las únicas personas a las que NO le dio la mano son él o ella misma y su pareja. Un detalle extra es que hay una persona que respondió cero y por lo tanto NO le dio la mano a P8. Como la única persona que no le dio al señor 8 es su pareja, entonces P0 es la pareja de P8. Eso permite cocluir que P8 SÍ le dio la mano a DC y, obviamente P0 NO le dio la mano a DC (porque no se la dio a nadie).

Si analizamos a P7, él le dio la mano a todos menos a sí mismo, su pareja y P0 (de nuevo, porque P0 no se la dio a nadie y no es la pareja de P7 porque es la de P8). Y pensando que P1 sólo se la dio a una persona y esa persona es P8 (porque si no P8 no llega a 8) la pareja de P7 tiene que ser P1 y, por esa razón, P7 SÍ se la tuvo que haber dado a DC y P1 NO (porque ya le dio su “única” mano a P8). Análogamente se puede hacer el análisis para P6 y P5 y llegar a que ellos SÍ le dieron la mano al dueño de casa y que sus parejas son respectivamente P2 y P3. Hecho esto vemos que P4 es la pareja de DC y contamos que DC también estrechó 4 manos (las de P8, P7, P6 y P5).

Todas las soluciones correctas fueron variantes similares (gráficas o razonadas) de lo expuesto aquí arriba con la excepción de una. Una solución con un razonamiento distinto pero muy interesante fue propuesto por Daniel García Rolero. Él dijo:

A la solución 1 la llamo convencional porque estableciendo el número máximo de contactos (= a total-el propio-el de la pareja), (10-1-1=8) y el mínimo (=0) y teniendo la condición de que los resultados no deben repetirse y asumiendo que la pareja del de máximo contacto debe tener 0 (si no fuera su pareja no llegaría más que a 7).
Una vez establecida la lógica y el rango o se prosigue con la misma o se representa gráficamente….

A la 2 la pensé porque me interesa el tema de la matemática implícita en las decisiones intuitivas y quería plantear el problema como acertijo epistemológico, más o menos (no lo anoté en el momento y es tarde) es así:
1.- Nadie puede más de 8 apretones
2.- Nadie puede dar menos que 0
3.- Todos los resultados tienen que estar entre 0 y 8
4.- Hay 10 personas y 9 números entre 0 y 8
5 .- Por lo anterior una respuesta tiene que estar repetida
6.- La del anfitrión esta repetida porque se aclara que le resto tiene una distinta para c/u
7.- Acá viene a parte intuitiva que si bien puede demostrarse, surge sin demostración.. creo recordar un buen ejemplo de esto en ” Entre el cristal y el humo” de Atlan pero tendría que verificarlo…….En un sistema cerrado donde cada estado  condiciona el de otro, sólo puede estar repetido un estado que equilibre el sistema, la respuesta del anfitrión equidista de los extremos…


Realmente gran parte de la gracia es que al terminar de leer el enunciado parece que no hubiera datos suficientes para resolverlo. Por eso algunos echaron mano a supuestos adicionales como que “las mujeres saludan con un beso” o “cada uno saluda a los que ya estaban ahí cuando llegó”.

Espero que el problema les haya gustado tanto como me gustó en su momento a mí…

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