Solución al acertijo de las tres puertas

Si llegaste a esta página sin haber leído el acertijo, te invito a que lo leas y lo pienses antes de leer lo que sigue. El texto completo del acertijo está acá. Y si querés ver otros de mis acertijos favoritos, están todos en este link.

Como anticipé en el enunciado, lo que hace fascinante para mí a este acertijo es que la respuesta es totalmente antiintuitiva. Al haber aclarado eso supongo que todos lo encararon ya sabiendo que lo que conviene hacer ES CAMBIAR de puerta después de que el conductor nos muestra la que no es. Veamos por qué.

En la elección inicial, con una puerta que tiene premio y dos que no, resulta claro que eligiendo una puerta al azar tenemos una chance en tres (33.3%) de ganar el premio. Si no cambio la puerta, no me importa que abran otra. Mi chance de ganar se mantiene en un tercio.

El razonamiento lógico diría: si yo elegí una que no sé lo que tiene (digamos, la primera) y me muestran otra vacía que ya no puedo elegir (digamos, la segunda),  nada cambia si en vez de elegir la primera (que no sé si es la ganadora) me paso a la tercera (que tampoco lo sé).

Sin embargo, hay dos escenarios posibles:

– Si mi elección inicial es correcta (33.3% de chances), el conductor abre cualquiera de las otras dos y yo cambio a la otra y pierdo.

– Si mi elección inicial es equivocada (66.7% de chances), yo estoy en una que no es ganadora, el conductor sólo puede abrir la otra que no es ganadora y yo al cambiar sí o sí cambio a la que tiene el premio.

O sea que la decisión de cambiar a esa puerta que tampoco sé a priori qué tiene, ¡invierte las probabilidades! Ahora, si mi elección inicial es correcta (33.3%) pierdo, pero si mi elección inicial es errada (66.7%) gano!

Si el problema planteara que después de la elección inicial el conductor elimina una puerta cualquiera al azar (pudiendo eliminar también la ganadora del auto), en ese caso sería cierto que dicha eliminación no modifica nada. Sin embargo, ese no es el caso. La eliminación que hace el conductor  no es aleatoria.

Otra manera habitual de ilustrar la solución correcta es replantear el problema con 1,000,000 de puertas y que después de elegir una el conductor abra todas las demás (que tengan cabras) menos una. Así resulta claro que en ese caso, salvo que justo se diera el remoto caso de que elegimos justo la correcta, siempre convendrá cambiar a la única que queda que tiene que tener el auto.

Si no les salió, no se desesperen. Este problema ha sido muy estudiado y el 87% de las personas razona de acuerdo a la lógica mencionada al principio y concluye que no hay que cambiar. Un conocido psicólogo llamado Massimo Piattelli-Palmarini llegó a decir: “… no other statistical puzzle comes so close to fooling all the people all the time” (“…ningún problema matemático llega tan cerca de poder engañar a toda la gente todo el tiempo”).

Incluso, cuando el acertijo fue publicado en la revista Parade con su solución en 1990, se recibieron más de 10,000 cartas, muchas firmadas por Doctores en Ciencia y en Matemática, diciendo que la solución era equivocada!

Si se quedaron con ganas de más acerca del problema de Monty Hall, Wikipedia en inglés contiene mucha más información interesante al respecto.

Bueno, como siempre, ¡espero que les haya gustado y les haya permitido ejercitar un poco las neuronas!

    Hay 13 comentarios - Agregá el tuyo!

  1. 1
    juancho says:

    Sigo sin estar de acuerdo. La situación varía en el deseo del conductor de que el participante gane y no el premio.
    Por que el conductor va a dar al participante una nueva elección si su deseo es que el mismo pierda.
    De la misma manera si el conductor quisiera ayudar al participante, es justo que le de una nueva alternativa.
    De toda formas las posibilidades de acertar siguen siendo el 50 %, no ya por la puerta a elegir, sino tratar de percibir cual el el deseo real del conductor.
    Si no me entienden, lo siento.
    Chau.

    • 2

      Juancho, el conductor no “quiere que el participante pierda” ni tampoco “quiere ayudarlo”. Solo sigue una regla, siempre la misma. Le dice que elija uno. Le muestra uno que no es. Y le pregunta si quiere cambiar.

      El problema es contraintuitivo. Fijate que arriba explico que confunde al 87% de la gente. Pero la solución no es controvertible. Hacé el experimento muchas veces, primero sin cambiar y después cambiando. Vas a ver que en el primer caso solo ganas el 33% de las veces y en el segundo el 66%. La probabilidad no es 50%.

      Saludos!

  2. 3
    amigo says:

    Pues analizando las cosas conviene pensar lo siguiente:

    En el caso de tu elección en la primera puerta, destapando la tercera y saliendo una cabra, pues convendría no cambiar de elección.

    Pero ¿que pasa en el caso de una elección distinta? por ejemplo, si yo eligiera la tercera puerta y se destapara la primera puerta saliendo una cabra… evidentemente tendría que hacer un cambio en mi decisión.

    ¿A dónde quiero llegar con esto? Pues simplemente habría que recurrir a las experencias pasadas con los programas de concursos ¿Dónde se coloca generalmente el premcio? ¿al principio o al final?, según mis experiencias, en la cultura occidental, el premio generalmente se coloca en las primeras casillas. Por lo tanto depende de tu primera elección si vas a decidir un cambio o no, en el caso de una probabilidad bastante comprometedora.

  3. 4
    Marcelo says:

    Todo muy bien. Lo descripto funcionaría si tuvieses cientos de posibilidades de abrir las puertas y coincido que de cada 100 oportunidades ganarías el 66 % cambiando. Pero en el concurso televisivo tengo una sola bala, un solo disparo y por lo tanto una única chance de acertar. En un solo tiro la probabilidad es del 50 %. Y solo aplica el azar y no las matemáticas.

  4. 5
    Yo says:

    La respuesta matematica es tal y como se explico ahí, para entenderla tiene que abrir su mente, es algo asi: En un comienzo tenias 3 puertas, tuviste que elejir una, es decir de las posibilidades matematicas son de un 33,3 %, las otras dos puertas representan un 66,6 %. Hasta aqui tenemos 2 puertas en las cuales hay un 66 % de que tengan el premio, y una puerta que hay un 33% de que tenga el premio. El presentador abre una de estas dos puertas (sabiendo que esta vacia), entonces nos quedan 3 puertas, una con un 0% de contener premio (ya se abrio y esta vacia), otra con un 33,3 porciento de contener premio (la elejida al comienzo) y por ultimo, nos queda la puerta que no elejiste, y no fue abierta aún, al realizar un porcentaje, todos sabemos que hay que completar un 100 %, entre las 2 puertas (la elejida y la abierta) se suma un 33,3 %, ¿cual es la puerta que suma un 66,6 %? No hay mas posibilidades de que sea la no elejida y no abierta. Entonces al participante le conviene cambiar de puerta ya que un 66,6 porciento de posibilidades hay de que el premio esté en la otra. Esto no significa que le valla a embocar, solo significa que las matematicas dicen eso, algunos prefieren creer en la fé, en los instintos, en fin.. el acertijo pide una resolucion matematica y es la que explique, no es dificil para gente madura,

  5. 6
    Fer Naon says:

    Muy buen problema, se aprecia mucho. Sobre todo cuando se aborda con la mente en neutro, solo con pensamiento abstracto.

    En la práctica, la falla es que es muy idealista. Desde luego que no hay que aplicar esto en la vida real. Claramente en un programa, como en la mayoría de las situaciones de la vida, no querrían que ganes y regalarte plata.

  6. 7
    Andres Prada says:

    Como todo es al azar, concuerdo en que la probabilidad de ganar es mayor si uno sigue con la misma puerta , la decisión pasa del 33% al 50 % de chance de ganar o sea que la esa opción tiene un valor 17% de mas de valor. aunque si el presentador permite realizar el cambio se vuelve al proceso inicial y seria como el problema tipico del cara y sello en donde cualquier cosa puede pasar y no se puede estimar nada sin muestras. si el programa es antiguo sencillamente trataría de ver como es el comportamiento y hacia donde tiene tendencia el presentador asi el no tenga intensión alguna, pero siempre hay una tendencia sea consiente o inconsciente.

  7. 8
    luis says:

    pues desde mi punto de vista el hecho de que se elimine siempre una puerta equivocada, me sugiere que tengo 50% de probabilidad.. es como que no existieran tres puertas puesto que una puerta falsa sera eliminada por ende voy 50% 50% con solo dos puertas…

  8. 9
    Juan Pablo says:

    Muy bueno pero no termino de entender porque dicen que la puerta que elegí primero mantiene solo el 33% de chance luego de que el conductor abre la otra puerta. A mi entender al momento que el conductor abre una de las puertas y se ve que no esta el premio ahí, las probabilidades de las otras 2 puertas cerradas aumentan automáticamente del 33% al 50% en ese instante. Con lo cual cambiar o no cambiar tiene la misma chance del 50%. Yo lo entiendo como que inicialmente es un experimento con 3 opciones y luego se convierte en uno de 2 opciones con 50% de chances cada una. Agradeceré lógica en contrario.

  9. 11
    Adrián says:

    He creado un pequeño código para una macro en Excel ya que comprendo perfectamente la lógica del cambiar la elección de la puerta y quise comprobarlo realizando varios tiros y el resultado me dice que es 50 y 50 las posibilidades de ganar creo que en este caso la lógica matemática y la realidad no van de la mano y eso me tiene perplejo si alguien me puede decir más o si comprobaron lo mismo les agradecería que comenten.

  10. 12
    Falling In the Empty says:

    A muchos nos confunde al principio porque estamos acostumbrados a que en los problemas de probabilidad cada caso es equiprobable, como por ejemplo, al lanzar un dado, cada posible resultado tiene 1/6. Pero es un error pensar que eso siempre tiene que ser así. Si el dado no estuviese balanceado, las probabilidades no serían 1/6 para cada número.

    Hay diferencia de probabilidad entre las opciones si se tiene distinta información sobre ellas. Por ejemplo, supón que no conoces el año correcto de cierto acontecimiento histórico, pero sabes que las únicas posibilidades son 1990 y 1991. Si no tuvieras más información, podrías decir que cada opción es igualmente probable, por lo que cada una tendría 1/2. Pero si le preguntas a un estudiante de malas notas, titubea y te dice que es 1990, y luego le preguntas a un profesor de historia y muy convencido te dice que es 1991, no pensarás que las opciones siguen siendo igualmente probables, ¿verdad? Es menos probable que el profesor esté equivocado.

    La diferencia entre ambas opciones en el ejemplo de los años es el respaldo que tienen. Una está respaldada por alguien “ignorante” y la otra está respaldada por un sabio. No es imposible que el sabio se equivoque, pero es menos frecuente.

    En el problema de Monty Hall ocurre exactamente lo mismo. El presentador conoce en qué posición está cada uno de los contenidos y además está forzado a dejar el carro oculto para la segunda ronda. Las únicas puertas que permanecerán cerradas son la que elija el concursante al principio y otra que decida el presentador. Como el concursante elije una puerta que no es la del carro la mayoría de las veces (2/3 del total), la otra puerta que el presentador decida dejar cerrada tendrá que ser la del carro en esa misma mayoría de las veces, de manera que siempre permanezca oculto.

    El carro está en una de las dos puertas, pero lo importante es que es más probable que haya sido seleccionado por el presentador y no por el concursante; ahí está la diferencia. Por eso es mejor apostar por la puerta del presentador.

  11. 13
    Fernando Jose Gonzalez says:

    Muy clara esa explicación, ahora entiendo por qué tiene más relevancia elegir la puerta que dejó cerrada el presentador, ahí aumentan las chances.

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