La solución al problema de los cazadores (y al de los patos!)

Creo que lo interesante de este acertijo es mostrar como un mismo problema puede ser visto desde dos lados muy diferentes y la solución puede ser mucho más simple o difícil de encontrar según el lado que uno tome.

Eso explicaen gran medida cómo fue que me pasé un montón de tiempo sin resolverlo y de repente “apareció” la solución en el acto mismo de escrribir el post para compartir el enunciado con ustedes.

Si uno piensa el problema desde la óptica de los cazadores enseguida se topa potencialmente con cálculos matemáticos extremadamente complejos. Si no les gusta mucho la matemática, créanme y salteen los tres próximos párrafos.

Veamos: Si por un tema de orden en el análisis pensamos a los cazadores como si dispararan en un orden en vez de al unísono, nos damos cuenta que el que tira primero seguro mata un pato porque sea cual sea el que elija, los 1o están vivos.

Cuando llega el momento de que dispare el segundo, tiene un 90% de chance de elegir a un pato vivo y un 10% de chance de elegir un pato ya muerto. Es decir, tiene 90% de probabilidades de matar un pato más y que termine habiendo dos patos muertos.

Pensemos ahora en el tercero. El tercero tiene un 10% de chances de que los dos anteriores le hayan pegado al mismo y un 10% de chances de que ese sea el que elija él. O sea, hay un 1% de chances de que los tres le peguen al mismo y después de tres tiros solo quede un pato muerto. Hay un 9% (hasta completar el 10% anterior) de que los dos anteriores le pegaran al mismo pero él le pegue a otro y haya dos patos muertos. Hay un 90% de chance de que le hubieran pegado a dos patos distintos y un 20% de que él le pegue a alguno de los dos que ya estaban muertos (o sea, 18% más, 27% en total de que haya dos muertos). Etc, etc. SOCORRO! Si ya para el análisis del tercer cazador los escenarios son tantos y tan complejos, parece que el cálculo es insoluble hasta llegar a 10.

El click “mágico” que yo hice ese día fue, de repente, dejar de pensar en “el problema de los cazadores” y pasar a pensar en “el problema de los patos”. La pregunta que me hice fue: desde la óptica de un pato individual, ¿cuál es la probabilidad de que después de 10 tiros él siga vivo?

Para la vida o muerte de un pato concreto, da exactamente igual que haya o no otros 9 patos. A su sobrevida no le importa si cada tiro errado le pega a otro pato o simplemente sigue de largo. Por eso, desde el punto de vista de ese pato, los cazadores estos tienen bastante mala puntería: fallan 9 de cada 10 tiros.

Es fácil ver que si le tiran una sola vez el pato tiene 90% de chances de vivir. ¿Y si le tiran dos veces (o, mejor dicho, dos cazadores)? Si se dio el 90% de que esté vivo, otra vez tiene 90% de chances. O sea, la respuesta es 90%*90% = 81% de chances de vivir. Después del tercer tiro: 90%*90%*90% = 72,9%.

Cada nuevo tiro, suponiendo que sobrevivió a todos los anteriores, le da una chance de 90% y por lo tanto la posibilidad de sobrevivir a 10 tiros es 90% multiplicado 10 veces que es igual a 34,9%. Si esa es un chance de vivir, su chance de morir es 65,1%.

El siguiente click que hay que hacer es que eso es cierto para cualquiera de los patos. Todos ellos tienen después de 10 tiros 34,9% de probabilidad de estar vivos y 65,1% de estar muertos. Por lo tanto, si hay 10 patos y repetimos esto un número alto de veces, deberíamos terminar en promedio con 3,49 patos vivos y 6,51 patos muertos. Esa es la solución que estábamos buscando.

Si queremos ir un paso más allá, ahora, pensado desde el lado de los patos, es fácil generalizar una fórmula para cualquier número de cazadores (al que llamaremos k) y de patos (en adelante, p).
La chance de que un pato viva después de un disparo es (p-1)/p, dado que todos los patos menos uno no son él. Como hay tantos disparos como cazadores y la chance de sobrevivir es siempre esa, su probabilidad de sobrevivir a todos los disparos es (p-1)/p elevado a la k. Y su chance de morir es 1-eso. Sólo nos falta ahora meter que hay p patos para llegar a la fórmula final:

Siempre habrá px((p-1)/p)<sup>k</sup> patos vivos y px(1-((p-1/p)<sup>k</sup>) patos muertos.

Para cerrar, si todavía quieren seguir dándole vueltas al tema, gracias al aporte de varios que me enviaron soluciones, entre otros Pablo Iacub, me di cuenta de que el problema es fácilmente resoluble desde el lado de los cazadores también!

Bastaba con calcular el número de patos esperados antes de cada disparo para simplificar todos esos números de arriba y ver que el problema era igual de simple (o complicado) desde la óptica de los tiradores. Veámoslo:

El primer tirador seguro mata uno y entonces deja 1 muerto y 9 vivos.

El segundo encuentra 90% de los patos vivos y por lo tanto mata uno con 90% de probabilidad, o sea que mata 0,9 patos y quedan 8,1 vivos.

El tercero encuentra 81% de los patos vivos, o sea que mata uno con 81% de probabilidad, matando 0,81 patos y dejando 7,29 vivos. Este cálculo sí es sencillo de seguir repitiendo 10 veces.

Obviamente el resultado después de 10 repeticiones será el mismo. 3,49 patos vivos y 6,51 patos muertos.

¡Espero que les haya gustado el acertijo!

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